初等积分法求解常微分方程笔记

初等积分法即把微分方程的求解问题化为积分问题,用有限次求积分的方法求出微分方程的解。

对于一般的一阶常微分方程,并没有通用的初等解法。但在数学家的不断努力下,还是有大量针对特定类型方程求解的一般方法被提了出来,在这里简单的总结记录一下以供自己查阅。

变量分离方程

有着以下形式的方程称为变量分离方程

如果 $\varphi(y)\not= 0$,则方程可以改写为

这样,变量就被“分离”开来了。对上述方程两边积分,得到通积分

其中 $C$ 为任意常数,$\displaystyle{\int\frac{dy}{\varphi(y)}}$ 、$\displaystyle{\int f(x)dx}$ 分别理解为 $\dfrac{1}{\varphi(y)}$ 、$f(x)$ 的原函数。可以验证该通积分即为原方程的通解

由于上式不适合 $\varphi(y)=0$ 时的情形,因此还必须寻求 $\varphi(y)=0$ 的解 $y_0$ ,当 $y=y_0$ 不包括在上述通解中时,必须补上特解 $y=y_0$

齐次方程

如果微分方程

可以改写成如下形式:

则称其为齐次方程

对于改写后的齐次方程,令 $u=\dfrac{y}{x}$ ,即 $y=ux$ ,则

代入原改写后的齐次方程,得

可以整理为

这是一个变量分离方程,可以按变量分离方程的求解步骤求解,求解后代回原变量即可得到原方程的解。

除了上面提到的类型,有些方程经过简单的变换可以化为齐次方程来求解,这里不再过多介绍。

一阶线性方程

有着如下形式的方程称为一阶线性微分方程

其中 $p(x)$ ,$q(x)$ 是区间 $I$ 上的连续函数,而称方程

为相应的一阶齐次线性微分方程。如果 $q(x)\not\equiv 0$,也称上述“一阶线性微分方程”为一阶非齐次线性微分方程

一阶齐次线性微分方程通解

一阶齐次线性微分方程

是一个变量分离方程。 $y=0$ 是它的一个解,如果 $y\not= 0$ ,则方程可以改写为

其解为

它可以改写为

其中 $C=\pm e^{C_1} \not= 0$ 是任意常数。不考虑 $C$ 和 $C_1$ 之间关系的话, $C$ 可以取任意数。如果允许 $C=0$ ,则特解 $y=0$ 就在上述方程定义的曲线族中。由此可知原方程的通解为:

常数变易法

常数变易法是一种求解一阶非齐次线性微分方程通解的方法,由法国数学家 Lagrange(拉格朗日)在 1774 年提出,具体求解过程如下:

先求出对应一阶齐次线性微分方程的通解,再设所求的一阶非齐次线性微分方程有形如

的解,其中 $C(x)$ 为待定函数。将上式代入所求方程,可得

从而得

其中 $C$ 是任意常数。由此知道,前面所设通解中的 $C(x)$ 取上式时,所设的通解满足原一阶非齐次线性微分方程。所以,一阶非齐次线性微分方程的通解为

其中 $C$ 为任意常数,上式也可写成

它由两部分组成:

其中 $\phi_c(x)$ 是一阶齐次线性微分方程的通解,而

是原一阶非齐次线性微分方程的一个特解(取 $C=0$ )

Bernoulli 方程

Bernoulli(伯努利)方程和 Riccati(里卡蒂)方程是两类形式最简单的非线性方程。其中 Bernoulli 方程是可以求解的,Riccati 方程一般不能用初等积分法求解,这里只介绍 Bernoulli 方程

形如

的方程称为 Bernoulli 方程,其中 $n$ 为常数,且 $n\not=0$ 和 $1$ 。方程两边同乘 $(1-n)y^{-n}$ ,得

再令 $z=y^{1-n}$ ,就有

这是关于未知函数 $z$ 的一阶线性方程,由前面一阶线性方程的求解步骤可以求得 Bernoulli 方程的通解为

其中 $C$ 为任意常数。当 $n>0$ 时, $y=0$ 也是 Bernoulli 方程的解

恰当方程与积分因子法

恰当方程

考虑对称形式的一阶微分方程

如果存在一个可微函数 $\Phi(x,y)$ ,使得它的全微分为

则称其为恰当方程全微分方程,$\Phi(x,y)$称作是一个原函数。由该定义,原方程为恰当方程当且仅当有一个可微函数 $\Phi(x,y)$ 满足

此时可以很容易证明 $\Phi(x,y)=C$ 就是原方程的通积分,其中 $C$ 是任意常数。

由此可证明如下定理:设函数 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 在区域

上连续,且有连续的一阶偏导数 $\dfrac{\partial P}{\partial y}$ 与 $\dfrac{\partial Q}{\partial x}$ ,则原微分方程是恰当方程的充要条件为恒等式

在 $R$ 内成立。此时,原方程的通积分为

其中 $(x_0,y_0)$ 是 $R$ 中任意取定的一点。

积分因子法

还是针对上面提到的对称形式一阶微分方程,假设 $P$ 和 $Q$ 有连续的一阶偏导数,当它不是恰当方程时。如果存在连续可微函数 $\mu=\mu(x,y)\not=0$,使得

是恰当方程,亦即

则称 $\mu(x,y)$ 是原方程的积分因子。显然,找到了积分因子后,我们就能把原方程变为恰当方程来求解,关键在于如何找到积分因子。

事实上寻求积分因子等同于求一阶偏微分方程

理论上它的解是存在的,然而对它的求解又会归结到对原方程的求解。因此,一般来说,先求出积分因子的表达式再去求解原方程是行不通的。但在若干特殊情形中,上式的求解还是比较容易的:

原方程有一个只依赖于 $x$ 的积分因子的充要条件是

只依赖于 $x$,而与 $y$ 无关。此时积分因子为 $\mu=e^{\int G(x)dx}$

原方程有一个只依赖于 $y$ 的积分因子的充要条件是

只依赖于 $y$,而与 $x$ 无关。此时积分因子为 $\mu=e^{\int H(y)dy}$

另外还有分组求积分因子法之类的方法,这里不再过多记录。

隐式微分方程

一阶微分方程的一般形式为

如果能够解出导数 $y’=f(x,y)$,则可以根据 $f$ 的具体形式,由前面介绍的方法来求解

可解出y(或x)的方程——微分法

考虑可解出 $y$ 的方程

令 $p=\dfrac{dy}{dx}$ ,则方程变为 $y=f(x,p)$

两边对 $x$ 求导,并将 $p=\dfrac{dy}{dx}$ 代入,得

这是关于 $x,p$ 的一阶微分方程,导数 $\dfrac{dp}{dx}$ 已解出。若求得通积分

则原方程有通积分

其中 $p$ 是参数,$C$ 为任意常数

对于可解出 $x$ 的方程

求解方法类似。令 $\dfrac{dy}{dx}=p$ ,则方程变为 $x=f(y,p)$ ,两端对 $y$ 求导,将 $\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{p}$ 代入,得到一一阶微分方程,若求得通积分

则原方程通积分为

不显含x(或y)的方程——参数法

考虑不显含 $x$ 的微分方程

令 $p=y’$,则方程变为

作为 $y,p$ 之间的联系,该方程一般代表 $(y,p)$ 平面上的若干条曲线。则可设出原方程的一个参数表示

又由于

积分得

从而原方程有通解

其中 $t$ 为参数,$C$ 为任意常数

对于不显含 $y$ 的方程

解法类似。令 $p=y’$ ,则方程变为 $F(x,p)=0$ ,设

代入 $dy=pdx$ ,积分即可解得原方程通解为

一般情形——参数法

考虑一阶隐式微分方程

令 $p=y’$ ,则方程可以写成

它在 $(x,y,p)$ 空间中表示若干张曲面,设

是其中一张曲面,由 $dy=pdx$ ,得

它可以写成如下形式

这是一阶显式微分方程,其中

如果能够求出它的通解

则原方程的通解为

其中 $u$ 是参变量, $C$ 是任意常数。另外,如果除以上通解,显式一阶微分方程还有特解 $v=S(u)$ ,则原方程还有特解

可降阶的高阶方程

这里只简单介绍三类高阶微分方程的解法,基本思路都是降低高阶微分方程的阶数

最简单的n阶微分方程

对于此类方程,直接求积分n次即可求解

不显含y的微分方程

令 $\dfrac{d^ky}{dx^k}=z$ ,则可将方程降低 $k$ 阶,此时方程变为

不显含x的微分方程

令 $z=\dfrac{dy}{dx}$ ,则有恒等式

将它们代入原方程就得到一个 $n-1$ 阶微分方程

其中 $z$ 是未知函数,而 $y$ 是自变量